数列の和その１
orpheus
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\[
1 \cdot 2 \cdot 3 +
2 \cdot 3 \cdot 4 +
3 \cdot 4 \cdot 5 +
4 \cdot 5 \cdot 6 +
5 \cdot 6 \cdot 7 +
6 \cdot 7 \cdot 8
=
\frac{1}{4} \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9=756
\]
の計算方法は
\[\sum_{k=1}^n k \cdot (k+1) \cdot (k+2) =\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3) \]
の計算式についての解説と応用をしていきたいと思います。
これは\[\sum_{k=1}^n k^2 =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\]の導きかたにも使えます。 蛇足ですが、この公式への代入の仕方は
1～10、迄の2乗の和ならば
\[\frac{1}{6}\times 10 \times 11 \times (10+11) \]
\[2n+1を計算をするのは
n+(n+1)=2n+1\]でやると楽です
つまり\[1^2から10^2までの和は\frac{1}{6}\times10\times (10の次) \times\{ 10+(10の次)\}\]です。
では、
\[ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 – 0 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 4\cdot (1\cdot2\cdot 3 ) \]
\[+2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 – 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 4\cdot (2\cdot3\cdot 4 ) \]
\[+3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 – 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 4\cdot (3\cdot4\cdot 5 ) \]
\[+4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 – 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 4\cdot (4\cdot 5\cdot 6 ) \]
\[+5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 – 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 4\cdot (5\cdot6\cdot 7 ) \]
\[+6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 – 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 4\cdot (6\cdot7\cdot 8 ) \]
\[6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 =4 \times (1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 \cdot 6 + 5 \cdot 6 \cdot 7 + 6 \cdot 7 \cdot 8)\]
なので 両辺を４で割れば最初の式になります
左辺が最後の項以外すべて消えてしまうのがミソです
ABOUT ME
公立高等学校で数学と情報科学を教える教師です。
授業では、iPadを活用した指導方法や、数学の新しい解法を生徒たちに紹介しています。
音楽にも深い興味を持っており、特にピタゴラス音階や純正律など、数学から派生した音楽理論に魅了されています。また、合唱のアカペラでのハーモニー作りにも情熱を注いでいます。プライベートでは、コーヒーを楽しみながら様々な音楽を聴くことが趣味です。このブログでは、iPadの便利な使い方や数学の面白い解き方、音楽理論についても掘り下げていきたいと考えています。
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